Et si Mandelbrot était le digne successeur d’Einstein ?

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Après Michel Serres, Edgar Morin , François Ewald , Amartya Sen, et Miguel Benassayag, j’ai décidé de consacrer cette tribune du dimanche, “jour du penseur”, à celui qui était hier l’un des invités d’honneur des conférences TED de Palm Springs 2010, le génial mathématicien Benoit Mandelbrot, inventeur du concept de “fractales”. Un concept qui n’a pas fini de révolutionner notre vision du monde dans un très grand nombre de domaines, et qui inscrit Mandelbrot dans la digne succession d’Einstein.

Wikipédia nous rappelle que “Benoît Mandelbrot est un mathématicien franco-américain né à Varsovie en1924. Il a travaillé au début de sa carrière sur des applications originales de la théorie de l’information, puis développé une nouvelle classe d’objets mathématiques : les objets fractals, ou fractales. En 1973, il répertorie les cas où, contrairement au paradigme classiquement utilisé, les aléas ne s’annulent pas, mais au contraire se cumulent, et où la prédiction statistique classique ne fonctionne plus. Il cite des exemples pris dans son domaine à IBM, la transmission du signal, mais également dans des domaines inattendus : les crues du Nil, la forme des nuages, celle des fleuves.Il arrive à la conclusion qu’il n’y a pas une forme de hasard, qui conduirait toujours à une égalisation par la loi des grands nombres. Il s’agit là d’une illusion due au fait que nous n’étudions que ces exemples en nous détournant des autres comme mal conditionnés : les sphères ou les triangles sont considérés comme des objets acceptables par les mathématiciens de l’époque, mais pas les nuages ni les arbres (du moins en tant qu’objets géométriques). Les mathématiques de cette époque restent muettes sur les monstres. Pas étonnant dans ces conditions que les mathématiques existantes soient considérées comme ayant un immense pouvoir d’explication des phénomènes scientifiques, car nous ne considérons comme scientifiques que les phénomènes qu’elles permettent d’expliquer !

Or, ajoute Mandelbrot, c’est l’essentiel des phénomènes de la nature qui obéissent à cet autre type de hasard où l’on ne peut appliquer la loi des grands nombres. Le modèle standard nous fait passer à côté de la plus grande partie de la réalité, et va jusqu’à nous empêcher même de la voir.Il cite alors comme exemple de cette nouvelle forme de hasard à étudier l’exemple qui deviendra célèbre de la côte de Bretagne, dont la longueur dépend de l’échelle à laquelle on la mesure, et qui possède une dimension de Hausdorff non-entière. La théorie des fractales est né. Les principes en seront publiés avec une très grande quantité d’exemples (hydrologie, structure du poumon, granulation des bétons, paradoxe d’Olbers, turbulences en mécanique des fluides, urbanisme des villes, et même trous du fromage d’Appenzell) dans un ouvrage qui fait depuis référence : Les objets fractals – Forme, hasard et dimension en 1974. Il y présente au lecteur des objets jusqu’alors peu connus : courbe de Von Koch, éponge de Sierpinski-Menger que les mathématiciens gardaient pudiquement dans leurs tiroirs. Tous ces exemples ont en commun ce que l’auteur nomme une homothétie d’échelle et qu’il désignera quelques années plus tard sous le nom d’autosimilarité (self-similarity).

Le caractère novateur du livre (paru au départ en France) en fait un succès immédiat, mondial, et qui touche cette fois-ci le grand public. Les exemples de la première édition de cet ouvrage étaient tous en noir et blanc pour des raisons d’économie et de technologie des écrans. Par la suite, les fractales se révélant un outil efficace pour la synthèse d’images complexes, on n’en verra plus qu’en couleurs. En plus de la découverte des fractales en mathématiques, il a montré le grand nombre d’objets bien décrits par des fractales dans la nature, conduisant ainsi à de nouveaux terrains de recherche. Des fractales se retrouvent également dans des phénomènes étudiés en théorie du chaos.

Benoît Mandelbrot est également à l’origine, entre 1962 et 1967, de plusieurs modèles d’évolution des cours de la bourse basée sur les principes de la géométrie fractale. Ces nouvelles descriptions présentent l’avantage de mieux quantifier la survenue des ruptures de marché comme les crises de liquidités – ce que ne permet pas l’usage des modèles mathématiques  usuels de la théorie financière classique – et surtout de mieux prendre en compte la nature fondamentalement  discontinue des échanges, en introduisant la notion capitale de ” temps intrinsèque du marché” ou “temps social de l’échange”, qui est le temps psychologique des opérateurs boursiers, différent du temps physique calendaire : les marchés créent leur propre temps. D’abord reconnue pertinents, ces modèles ont été ensuite écartés pour cause de complexité. Puis ils ont été redécouverts depuis la fin des années 1990, riches en turbulences financières. Mandelbrot en a donné une version plus intégrée et modélisée dans une forme nouvelle élaborée en 1997 à Yale avec ses étudiants, dans laquelle le “temps multifractal” devient l’élément important de l’analyse boursière. En 2004, il a publié “Une approche fractale des marchés” dans lequel il dénonce les outils mathématiques de la finance parce qu’il les juge inadaptés.” Son approche est aujourd’hui utilisée pour remettre en cause les modèles de prévision financière après la crise (cf le livre de Christian Walter “Le virus B” qui a fait l’objet d’un post en octobre dernier sur ce blog ” Et si on donnait sa chance à la chance ?” (cliquer ici)).

Le magazine Sciences & Vie de février 2010 consacre un article passionnant à l’extraordinaire modélisation 3D de fractales, baptisées “Mandelbulbes”, créées par deux géniaux amateurs (Daniel White et Paul Nylander), dont les coupes constituent un paysage fantasmatique hallucinant de beauté et de diversité (voir vidéo et photos ci-dessous). Quel meilleur moyen d’illustrer la citation de Mandelbrot la plus “retwittée” de Ted 2010 qui s’est terminé hier après-midi :  “Bottomless wonders spring from simple rules repeated without end ” (”Des merveilles insondables jaillissent de quelques règles (mathématiques) simples répétées à l’infini”). Démonstration ci-dessous !